一种基于新型阈值函数小波去噪方法

姚家扬，罗志增

(杭州电子科技大学 机器人研究所，浙江 杭州 310018)

摘要：传统小波阈值去噪方法中，软阈值法连续性好，但保真效果差，而硬阈值法可保留更多信息，但是在分界点处会产生振荡，即伪Gibbs现象。为了提高信号的保真效果，减少振荡现象，提出了一种新的阈值函数，该函数阈值介于软阈值与硬阈值之间，且是连续函数。该方法既减小了软阈值固定偏差带来的失真，又消除了伪Gibbs现象。仿真结果表明,，新方法的信噪比与均方误差均优于传统的阈值去噪方法。

关键词：小波去噪；伪Gibbs; 阈值函数；信噪比

中图分类号：TN911.4      文献标识码：A          文章编号：

0 引言

脑电信号（Electroencephalogram，EEG）是由大脑皮层神经元活动而引起的大脑皮层电压，脑电信号分析在生物医学工程领域扮演越来越重要的角色^[1]。脑电信号具有非平稳性，非线性，随机性，微弱性，且在脑电采集过程中，脑电信号极易受到心电，眼电，工频噪声，高斯白噪声等噪声的干扰，因此获取一个更加接近所要得到的脑电信号对于后续深入研究十分重要，其中小波变换脑电去噪是一个最具潜力的研究领域^[2]。

1980年初，法国学者Daubechies和Mallat等^[3],[4]将小波分析理论引入工程应用中，因为小波变换在处理与分析微弱的随机信号时，具有很好的效果，且基于其多分辨率，可以较好地反映信号的局部特征，逐渐得到了广泛的应用。    

    尽管小波阈值滤波已有较好的理论与实践基础，但在实际应用中，其阈值的选取仍然是一个难题，阈值处理的好坏直接影响去噪效果。Donoho 和Johnstone ^[5]提出了目前常用硬、软阈值处理方法中存在的问题：软阈值函数虽然连续性好，但存在一个固定的偏差，信号的保真效果很差；而硬阈值函数虽然可以保留更多的信息，但是在分界点处由于不连续，会产生振荡，即伪Gibbs现象。作者在多次脑电信号去噪实践分析的基础上，提出了一种新的阈值函数构造方法，该函数将阈值取于硬阈值与软阈值之间，且是一个连续函数。通过实验仿真发现，新方法去噪效果更好，在信噪比和均方误差两项指标均优于传统方法。

1 小波阈值去噪法

小波阈值去噪的基本原理在于小波变换具有很好的去数据相关性，它能使信号的能量集中在小波系数大的区域，把噪声能量聚集在小波系数小的区域^[6]，因此可以认为，小波系数大的区域以信号为主，小的区域以噪声为主。所以只需将大的小波系数保留，小的滤除就可以达到滤波效果。常用的阈值去噪大致有两种：软阈值去噪与硬阈值去噪。

1.1软阈值法

将含噪信号的小波系数与选定的阈值进行比较，大于该值的点收缩为该点小波系数与阈值的差；小于该值的收缩为二者的和；其余情况均为零。软阈值函数^[7]如下式所示：

                                               （1.1）

其中为通用阈值：，为小波系数。

1.2硬阈值法

    含噪信号小波系数的绝对值大于选定的阈值时，值不变；否则，该点值变为零。硬阈值函数^[8]如下式所示：

                                                  （1.2）

其中为通用阈值：，为小波系数。

    图1 软阈值函数           图2 硬阈值函数          图3 新型阈值函数

2 以过度函数替代的软硬阈值综合处理方法

针对软阈值法丢失信息多，硬阈值法会产生伪Gbiss现象^[9]，本文提出了一种新的阈值算法

                                      （2.1）

其中为通用阈值：，为小波系数。

    该方法一是为了使||达到最小，从而减小了软阈值失真较大的缺点，二是为了使函数连续，因此在[-,]间加入了一个新函数而不是简单地归为零，从而减免了硬阈值带来的振荡现象，但是提高了计算的复杂度；该方法滤波效果较好，去噪后的波形明显优于软，硬阈值去噪后的波形，与硬阈值相比，在交界处的振荡明显降低了很多，如下图4所示：

    图4是对blocks 的含噪信号（信噪比分别为4,10,20 dB,信号长度为2048个）分别采用传统的硬、软阈值函数和本阈值函数进行去噪后的结果。

图4 信噪比为4时参考信号与3种方法去噪后的效果图

但是此函数中的是通用门限，并非最优的，若根据不同层设定不同值效果会更佳。

3 实验仿真

实验数据采集过程：本文所用的实验数据是由BCI脑-机接口测得的左右手想象脑电数据。每次实验采样频率为128Hz，持续时间为9s。0~3s为准备时间，在3s时，显示屏上将出现一个指向左边或者右边的箭头，受试者根据提示开始进行想象运动直至第9s结束。

3.1实验评价指标

（1）信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）

信噪比是用来衡量信号中噪声成分高低程度的，单位是分贝（dB），如式（3.1）所示：

                                       （3.1）

式中，N 为样本点数，是原始的含噪信号，是去噪后的信号。通常信噪比越大，认为去噪效果越好。

（2）均方误差（Mean Square Error，MSE）

原始含噪信号与去噪后估计信号之间的均方误差，如式（3.2）所示：

                                            （3.2）

通常均方差根较小时，效果相对较好。

3.2实验过程简介

离散小波3种阈值法去噪比较实验流程如下：

1.分别对输入信号加入3db,9db,15db信噪比高斯白噪声；

2.依次用离散小波变换对加噪信号进行3层分解；

3.分别用软，硬，新型阈值法对各子代细节信息进行小波阈值去噪，并且计算SNR与MSE；

4.进行小波逆变换得到去噪后的小波；

5.比较离散小波变换下3种方法的优缺点，得出结论。

3.3仿真结果

离散小波3种阈值法去噪比较结果：

图5 离散小波变换下原始信号及加噪信号与去噪信号比较图