题目：柯西不等式在欧氏空间中的应用

一、毕业设计（论文）综述（题目背景、研究意义及国内外相关研究情况）
题目背景:在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，经研究发现，很多问题又都能采用柯西不等式加以简单地解决。 
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性。在代数、几何等方面具有广泛应用，它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，以证明和推广其它不等式，是一个极有魅力的不等式。近年来，在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与之有关的题目，灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。本文着重探讨一下欧氏空间与柯西不等式的定义、证明与应用。
研究意义:柯西不等式在空间解析几何、高等代数、数学分析、初等数学等基础数学课程中,都有不同的形式和内容,看起来似乎没有什么共同之处,然而它们却统一于欧氏空间两向量的内积运算之中,就其不同领域中的证明而言,既有统一的思想方法,又有丰富的具体内涵,这充分反映了数学思维的多样性与一致性,客观地表现出人们对不同事物从同一角度和方法作出的数学描绘。高等数学除了可以使学生站在更高的观点上思考问题,同时又可以帮助学生处理初等问题,以达到初等数学与高等数学之间的衔接,利用柯西不等式且同时巧妙地构造向量m与n,就可以简化证明。在数学应用中具有很重要的意义。
国内外研究情况：柯西不等式可以使一些较为困难的问题迎刃而解。因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题，如2004年洪顺刚在皖西学院学报上发表了《柯西不等式的证明及其应用》，探讨了柯西不等式多种证明方法，反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等式及其在几何上的广泛应用，2009 年邹晶晶、周小玲，针对柯西不等式的重要性及较强的应用性，在数学学习与研究报上发表了《柯西不等式的应用》。近年来，在国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与柯西不等式有关的题目，有学者也就其作出了研究，如2010年蔡玉书在数学通讯上发表了《用柯西不等式证明竞赛中的不等式》。但是这些研究还远远没有能够形成一个完整的体系，还需要做一个更深入的研究和讨论。该课题在国内仍备受关注。国外的研究情况由于资源的缺陷，还尚未清楚。
   二、 课题研究的主要内容和方法：
 研究内容：1、欧氏空间下的柯西不等式的证明
          2、欧氏空间下的柯西不等式的应用
   研究方法：在解决空间解析几何、高等代数、数学分析、初等数学等基础数学课程应用问题中,欧氏空间与柯西不等式是一种有效的方法, 特别是在高等数学中，很多的不等式都可以尝试灵活应用柯西不等式的几种形式加以证明，但需强调的是应注意方法的适用范围及向量的构造技巧。 应将实际问题合理转化为适合的数学模型, 设定变量, 然后采用一种“ 以不变应万变” 的方法, 分析问题，解决问题。
   三、本课题研究的重点及难点，前期已开展工作
本课题的重点在于掌握柯西不等式的证明思想和应用，难点也在于用柯西不等式解决实际问题中应用。现已开始熟悉此领域的相关书籍文献来获取资料。
工作方案如下，前期已经开展1）和2）。                                                                                              
 1）熟悉和学习与柯西不等式和欧氏空间相关的基础知识；                                              
 2）学习柯西不等式和欧氏空间的各种性质以及应用原理；                                                                         
 3）能够学习应用柯西不等式在欧氏空间下的证明方法以及柯西不等式在欧氏空间中的实现和应用；                                
   4）形成论文。      
   四、进度安排
 1）1－3周   收集有关资料，完成开题报告；                                                                                            
 2）4－6周   系统学习柯西不等式和欧氏空间相关的基础知识，加深理解；
   3）7－8周   学习柯西不等式在欧氏空间下的证明方法，重点学习柯西不等式在欧氏空间中的实现和应用；                                                                                                                                                                                                                                      
 4) 9－12周  完成中期报告和外文资料翻译；                                                                                             
   5）13－16周 完成论文初稿；                                                                                        
 6）17－18周 修改完善论文，并打印装订成册，准备答辩。
参考文献：
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Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.